"Bis zur Unendlichkeit und weiter!"
Haben Sie sogar tief über Buzz Lightyears berühmtes Schlagwort aus den "Toy Story" -Filmen nachgedacht? Wahrscheinlich nicht. Aber vielleicht haben Sie manchmal zum Nachthimmel aufgeschaut und sich über die Natur der Unendlichkeit selbst gewundert.
Unendlichkeit ist ein seltsames Konzept, bei dem es dem menschlichen Gehirn schwer fällt, sein begrenztes Verständnis in den Griff zu bekommen. Wir sagen, dass das Universum unendlich sein könnte, aber kann es wirklich für immer weitergehen? Oder die Ziffern von pi nach der Dezimalstelle - laufen sie tatsächlich endlos weiter und geben uns immer so viel mehr Genauigkeit hinsichtlich des Verhältnisses zwischen Umfang und Radius eines Kreises? Und könnte Buzz Recht haben? Gibt es etwas jenseits der Unendlichkeit?
Um diese verblüffenden Spekulationen anzugehen, hat Live Science die Hilfe des Mathematikers Henry Towsner von der University of Pennsylvania in Philadelphia in Anspruch genommen, der so freundlich war, die Frage zu beantworten: "Können Sie über die Unendlichkeit hinaus zählen?" (Seien Sie gewarnt: Dies wird schwierig.)
Unendlichkeit, sagte Towsner, sitzt an einem seltsamen Ort: Die meisten Menschen haben das Gefühl, eine gewisse Intuition für das Konzept zu haben, aber je mehr sie darüber nachdenken, desto seltsamer wird es.
Mathematiker hingegen betrachten Unendlichkeit nicht oft als eigenständiges Konzept, fügte er hinzu. Sie wenden vielmehr unterschiedliche Denkweisen an, um die vielen Aspekte zu erfassen.
Zum Beispiel gibt es verschiedene Größen der Unendlichkeit. Dies hat der deutsche Mathematiker Georg Cantor Ende des 19. Jahrhunderts nach einer Geschichte der Universität St. Andrews in Schottland bewiesen.
Cantor wusste, dass die natürlichen Zahlen - also ganze positive Zahlen wie 1, 4, 27, 56 und 15.687 - für immer weitergehen. Sie sind unendlich und sie sind auch das, was wir verwenden, um Dinge zu zählen. Deshalb definierte er sie als "zählbar unendlich", so eine hilfreiche Seite über Geschichte, Mathematik und andere Themen des pädagogischen Karikaturisten Charles Fisher Cooper.
Gruppen von zählbar unendlichen Zahlen haben einige interessante Eigenschaften. Zum Beispiel sind auch die geraden Zahlen (2, 4, 6 usw.) zählbar unendlich. Und obwohl es technisch halb so viele von ihnen gibt, wie der gesamte Satz natürlicher Zahlen umfasst, sind sie immer noch dieselbe Art von Unendlichkeit.
Mit anderen Worten, Sie können alle geraden Zahlen und alle natürlichen Zahlen nebeneinander in zwei Spalten platzieren, und beide Spalten werden unendlich, aber sie haben dieselbe "Länge" von unendlich. Das bedeutet, dass die Hälfte der zählbaren Unendlichkeit immer noch unendlich ist.
Aber Cantors große Erkenntnis bestand darin, zu erkennen, dass es andere Zahlen gab, die unzählig unendlich waren. Die reellen Zahlen - zu denen die natürlichen Zahlen sowie Brüche und irrationale Zahlen wie pi gehören - sind unendlicher als die natürlichen Zahlen. (Wenn Sie wissen möchten, wie Cantor es gemacht hat und mit mathematischer Notation umgehen können, können Sie dieses Arbeitsblatt der University of Maine lesen.)
Wenn Sie alle natürlichen Zahlen und alle reellen Zahlen nebeneinander in zwei Spalten anordnen würden, würden sich die reellen Zahlen über die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen hinaus erstrecken. Cantor wurde später verrückt, wahrscheinlich aus Gründen, die nichts mit seiner Arbeit über die Unendlichkeit zu tun hatten, so Cooper.
Was zählt?
Zurück zur Frage der Zählung der Unendlichkeit. "Was die Mathematik Sie fragen lässt, ist: 'Was bedeutet das wirklich?", Sagte Towsner. "Was meinst du mit Zählen über die Unendlichkeit hinaus?"
Um auf das Problem einzugehen, sprach Towsner über die Ordnungszahlen. Im Gegensatz zu Kardinalzahlen (1, 2, 3 usw.), die angeben, wie viele Dinge sich in einer Menge befinden, werden Ordnungszahlen durch ihre Positionen (erste, zweite, dritte usw.) definiert und auch von in die Mathematik eingeführt Cantor, laut der Mathe-Website Wolfram MathWorld.
In den Ordnungszahlen steht ein Begriff namens Omega, der mit dem griechischen Buchstaben ω bezeichnet wird, sagte Towsner. Das Symbol ω ist definiert als das, was nach all den anderen natürlichen Zahlen kommt - oder, wie Cantor es nannte, die erste transfinite Ordnungszahl.
Aber eines der Dinge an Zahlen ist, dass man am Ende immer noch eine hinzufügen kann, sagte Towsner. Es gibt also so etwas wie ω + 1 und ω + 2 und sogar ω + ω. (Falls Sie sich fragen, treffen Sie schließlich eine Zahl namens ω1, die als erste unzählige Ordnungszahl bekannt ist.)
Und da das Zählen dem Hinzufügen zusätzlicher Zahlen gleicht, können Sie mit diesen Konzepten in gewisser Weise über die Unendlichkeit hinaus zählen, sagte Towsner.
Die Seltsamkeit all dessen ist Teil des Grundes, warum Mathematiker darauf bestehen, ihre Begriffe streng zu definieren, fügte er hinzu. Wenn nicht alles in Ordnung ist, ist es schwierig, unsere normale menschliche Intuition von dem zu trennen, was mathematisch bewiesen werden kann.
"Die Mathematik sagt Ihnen, 'Introspect tief, was zählt?", Sagte Towsner.
Für uns Sterbliche sind diese Ideen möglicherweise schwer vollständig zu berechnen. Wie genau gehen arbeitende Mathematiker in ihrer täglichen Forschung mit all diesem lustigen Geschäft um?
"Vieles davon ist Übung", sagte Towsner. "Sie entwickeln neue Intuitionen mit Belichtung, und wenn die Intuition versagt, können Sie sagen: 'Wir sprechen über diesen genauen Schritt-für-Schritt-Beweis.' Wenn dieser Beweis also überraschend ist, können wir immer noch überprüfen, ob er korrekt ist, und dann lernen, eine neue Intuition dafür zu entwickeln. "
