Mein physikalischer Sinn sagt mir, dass die Geschwindigkeit des Ablegens die Fluchtgeschwindigkeit ist.
Diese Minimierung könnte bei einem Verhältnis der Gesamtenergieänderung des Asteroiden-Systems plus ausgestoßenem Material zur Energie des ausgestoßenen Materials besser funktionieren. Die Raketengleichung ist hilfreich. Die Raketengleichung ist eine Erhaltung des Impulsergebnisses mit
d (mv) / dt = 0 -> (m - & Dgr; m) (v + & Dgr; v) - & Dgr; mV = 0
wobei V die Reaktionsmassengeschwindigkeit ist, & Dgr; v und & Dgr; m die Änderung der Geschwindigkeit und des Massenverlusts der "Rakete" oder in diesem Fall des Asteroiden sind und m und v die Anfangsmasse und -geschwindigkeit des Objekts sind. Wir setzen v = 0 und erhalten
v = V (m / m)
und die integrierte Geschwindigkeit ist v = V ln (m_i / m_f), für m_i die Anfangsmasse und m_f die Endmasse. Wenn die Massenänderung gering ist, haben wir
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
und der Impuls des Asteroiden am Ende ist p ~ = V (m_i - m_f). Wir lassen nun V = u - v_e, für v_e die Fluchtgeschwindigkeit und u die Geschwindigkeit des abgelegten Objekts. Dies bedeutet, dass V die Geschwindigkeit des abgelegten Objekts "im Unendlichen" ist.
Nehmen wir nun an, wir wollen die kinetische Energie des Asteroiden K = (1/2) p ^ 2 / m_f für einen gegebenen Abwurf der kinetischen Energie E = (1/2)? Mu ^ 2 minimieren. Wir konstruieren ein dimensionsloses Verhältnis,
R = p ^ 2 / m_f / (& Dgr; mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (& Dgr; mm_f) = (& Dgr; m / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
Übrigens ist es wichtig, mit einem dimensionslosen Verhältnis zu arbeiten. Also minimieren wir dies für ein gegebenes? M und berechnen das u. Also minimieren wir
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
und dies ist Null bei v_e = u. Dies scheint angesichts der Formel der Raketengleichung etwas seltsam, aber ich werde das weiter unten diskutieren.
Wir nehmen dann die zweite Ableitung, um zu bestimmen, ob dies ein Maximum oder ein Minimum ist, und wir erhalten
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
was bei u = v_e -2 <0 ist und so ist es eine min, was wir wollen. Es ist auch klar, dass u = v_e die minimale kinetische Energie ist, die wir der Masse verleihen können.
Es klingt seltsam, dass wir v ~ = V (m_i / m_f - 1) haben, was für V = u - v_e bei u = v_e Null ist. Für u = v_e bewegt sich der Asteroid jedoch heraus, bis das abgelegte Objekt unendlich ist. Der Zweck dieses Vorgangs besteht darin, eine Verschiebung des Asteroiden zu erzeugen, und wenn das abgelegte Objekt "unendlich" erreicht, erreicht der Asteroid eine gewisse Verschiebungsentfernung.
LC
