Mathematiker haben einen großen neuen Beweis für eine der berühmtesten unbewiesenen Ideen in der Mathematik entdeckt, die als Twin-Prime-Vermutung bekannt ist. Aber der Weg, den sie eingeschlagen haben, um diese Beweise zu finden, wird wahrscheinlich nicht dazu beitragen, die doppelte Vermutung selbst zu beweisen.
In der Doppel-Prim-Vermutung geht es darum, wie und wann Primzahlen - Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind - auf der Zahlenlinie erscheinen. "Zwillingsprimzahlen" sind Primzahlen, die in dieser Zeile zwei Schritte voneinander entfernt sind: 3 und 5, 5 und 7, 29 und 31, 137 und 139 und so weiter. Die Twin-Prime-Vermutung besagt, dass es unendlich viele Twin-Primes gibt und dass Sie ihnen immer wieder begegnen werden, egal wie weit Sie die Zahlenlinie hinunter gehen. Es heißt auch, dass es unendlich viele Primpaare mit jeder anderen möglichen Lücke zwischen ihnen gibt (Primpaare, die vier Schritte voneinander entfernt sind, acht Schritte voneinander entfernt, 200.000 Schritte voneinander entfernt usw.). Mathematiker sind sich ziemlich sicher, dass dies wahr ist. Es scheint sicher, dass es wahr ist. Und wenn es nicht wahr wäre, würde es bedeuten, dass Primzahlen nicht so zufällig sind, wie alle dachten, was viele Ideen darüber, wie Zahlen im Allgemeinen funktionieren, durcheinander bringen würde. Aber niemand hat es jemals beweisen können.
Sie könnten jetzt näher sein als je zuvor. In einem am 12. August im Preprint-Journal arXiv veröffentlichten Artikel haben zwei Mathematiker, wie Quanta erstmals berichtete, bewiesen, dass die Twin-Prime-Vermutung wahr ist - zumindest in einer Art alternativem Universum.
Dies ist, was Mathematiker tun: Arbeiten Sie auf große Beweise hin, indem Sie kleinere Ideen auf dem Weg beweisen. Manchmal können die Lehren aus diesen kleineren Beweisen beim größeren Beweis helfen.
In diesem Fall haben die Mathematiker Will Sawin von der Columbia University und Mark Shusterman von der University of Wisconsin eine Version der Twin-Prime-Vermutung für das alternative Universum der "endlichen Felder" bewiesen: Zahlensysteme, die nicht wie die Zahlenlinie ins Unendliche gehen, sondern auf sich selbst zurückschleifen.
Sie begegnen wahrscheinlich jeden Tag einem endlichen Feld auf dem Zifferblatt einer Uhr. Es geht 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 und kehrt dann zu 1 zurück. In diesem endlichen Feld ist 3 + 3 immer noch gleich 6. Aber 3 + 11 = 2.
Endliche Felder haben Polynome oder Ausdrücke wie "4x" oder "3x + 17x ^ 2-4", sagte Sawin gegenüber Live Science, genau wie reguläre Zahlen. Mathematiker, sagte er, haben gelernt, dass sich Polynome über endlichen Feldern sehr ähnlich wie ganze Zahlen verhalten - die ganzen Zahlen auf der Zahlenlinie. Aussagen, die für ganze Zahlen zutreffen, sind in der Regel auch Vertrauen in Polynome über endliche Felder und umgekehrt. Und genau wie Primzahlen paarweise kommen, kommen Polynome paarweise. Zum Beispiel sind die Zwillinge von 3x + 17x ^ 2-4 3x + 17x ^ 2-2 und 3x + 17x ^ 2-6. Und das Schöne an Polynomen, sagte Sawin, ist, dass sie im Gegensatz zu ganzen Zahlen, wenn Sie sie in einem Diagramm darstellen, geometrische Formen bilden. Beispiel: 2x + 1 erstellt ein Diagramm, das folgendermaßen aussieht:
Und 5x + x ^ 2 erstellt ein Diagramm, das folgendermaßen aussieht:
Da Polynome eher Formen als die Punkte abbilden, die Sie beim Zeichnen einzelner Primzahlen erhalten, können Sie mithilfe der Geometrie Dinge über Polynome beweisen, die Sie über einfache Ganzzahlen nicht beweisen können.
"Wir waren nicht die ersten, die bemerkten, dass man mit Geometrie endliche Felder verstehen kann", sagte Shusterman gegenüber Live Science.
Andere Forscher hatten kleinere Versionen der Twin-Primes-Hypothese über bestimmte Arten von Polynomen über endlichen Feldern bewiesen. Aber der Beweis von Sawin und Shusterman verlangte von den Forschern, dass sie in vielerlei Hinsicht von vorne anfangen, sagte Sawin.
"Wir hatten eine Beobachtung, die es uns ermöglichte, einen Trick auszuführen ... der die Geometrie viel schöner machte, so dass sie in all diesen Fällen gilt", sagte Shusterman.
Dieser geometrische Trick, sagte er, führte zu ihrem Durchbruch: Der Beweis, dass diese spezielle Version der Twin-Prime-Vermutung für alle Polynome über endlichen Feldern gilt, nicht nur für einige von ihnen.
Die schlechte Nachricht, sagte Sawin, ist, dass es wahrscheinlich nicht möglich sein wird, die Twin-Prime-Vermutung selbst zu beweisen, da ihr Trick stark von der Geometrie abhängt. Die zugrunde liegende Mathematik ist einfach zu unterschiedlich.
Dennoch, sagte Shusterman, ist der Beweis, dass der Fall der endlichen Felder ein großer neuer Beweis ist, der dem Stapel hinzugefügt werden muss, und neckt Mathematiker mit der Möglichkeit, dass der Beweis, auf den alle warten, irgendwo da draußen ist.
Es ist, als wollten sie die Spitze eines hohen steilen Berges sehen und zogen sich stattdessen einen anderen Berg in der Nähe hinauf. Sie können fast den fernen Gipfel sehen, aber er ist in Wolken gehüllt. Und die Route, die sie genommen haben, um die Spitze des zweiten Berges zu erreichen, wird auf dem Berg, an dem sie wirklich interessiert sind, wahrscheinlich nicht funktionieren.
Shusterman sagte, er hoffe, weiterhin mit Sawin an dem Problem der Zwillingsprimzahlen arbeiten zu können, und dass es immer möglich ist, dass sich etwas, das sie bei diesem Beweis gelernt haben, als wichtig herausstellt, um die Vermutung der Zwillingsprimzahlen zu beweisen.
